AM-GM-HM dan QM

"QM-AM-GM-HM"

apa itu?

QM = adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
AM = adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
GM = adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
HM = adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)



QM = [[(x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2]/n]^(1/2)
AM = (x1 + x2 + x3 + ... + xn)/n
GM = (x1.x2.x3......xn)^(1/n)
HM = n/[1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + ... + 1/xn]

dan akan selalu berlaku bahwa

QM >= AM >= GM >= HM

Bukti:
kita ambil n=2

(a-b)^2 >= 0
a^2 - 2ab + b^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2ab

kedua ruas ditambah a^2 + b^2 lalu dikalikan 2 diperoleh:

4(a^2 + b^2) >= 2(a^2 + 2ab + b^2)
(a^2 + b^2)/2 >= (a^2 + 2ab + b^2)/4
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)^2]/2^2
(a^2 + b^2)/2 >= [(a+b)/2]^2

[(a^2 + b^2)/2]^(1/2)>= (a+b)/2

QM >= AM

(Va-Vb)^2 >= 0
a - 2Vab + b >= 0
a+b >= 2Vab

(a+b)/2 >= (ab)^1/2

ket: V=akar kuadrat

AM >= GM

jika kedua ruas kita kalikan Vab dan dibagi (a+b) diperoleh

(Vab)/2 >= ab/(a+b)
Vab >= 2ab/(a+b)
Vab >= 2/[(a+b)/ab]

(ab)^1/2 >= 2/[1/a + 1/b]

GM >= HM

untuk n>2 bisa dibuktikan dengan metode induksi

CONTOH SOAL:

Buktikan bahwa setiap bilangan real positif x,y berlaku:

x/y + y/x >= 2

SOLUSI:

set a= x/y dan b=y/x pada AM-GM diperoleh:

(x/y + y/x)/2 >= V(x/y . y/x)
(x/y + y/x)/2 >= 1

x/y + y/x >= 2 Terbukti

CONTOH 2:

Buktikan bahwa:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 16

SOLUSI:

AM >= HM

(a + b + c + d)/4 >= 4/(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
gunakan perkalian silang diperoleh:

(a + b + c + d)(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) >= 4.4=16 Terbukti

CONTOH 3:

Buktikan bahwa:
jika n! = 1.2.3...n, maka

(500)^999 >= 999!

SOLUSI:

AM >= GM

(1+2+3+999)/999 >= (1.2.3.....999)^1/999

ingat bahwa 1+2+...+n = n(n+1)/2 shg (1+2+..+n)/n = n(n+1)/2n = (n+1)/2
dengan demikian:

1000/2 >= (999!)^1/999

500 >= (999!)^1/999

(500)^999 >= 999! Terbukti,

Nah masih banyak soal yg lainnya,

Silakan Soal2 berikut dicoba:

1) untuk a, b >0 buktikan bahwa

[(a+n.b)/(n+1)]^(n+1) >= a.b^n

2) Jika a,b>0 dan a+b=1 buktikan bahwa:

[a+1/a]^2 + [b+1/b]^2 >= 25/2